Fibonacci-sekvensformel: Sådan finder du Fibonacci-tal

Fibonacci-sekvensen er et mønster af tal, der gentager sig i hele naturen.

Gå til sektion

• Hvad er Fibonacci-sekvensen?
• Oprindelsen af ​​Fibonacci-sekvensen
• Fibonacci-taleformel
• Fibonacci-sekvens og det gyldne forhold
• Fibonacci-sekvens i naturen
• Lær mere
• Lær mere om Neil deGrasse Tysons MasterClass

Den berømte astrofysiker Neil deGrasse Tyson lærer dig, hvordan du finder objektive sandheder og deler sine værktøjer til at kommunikere det, du opdager.

Hvad er Fibonacci-sekvensen?

Fibonacci-sekvensen er en af ​​de mest kendte formler i talteori og en af ​​de enkleste heltalssekvenser defineret af et lineært gentagelsesforhold. I Fibonacci-rækkefølgen af ​​tal er hvert nummer i sekvensen summen af ​​de to tal foran den, med 0 og 1 som de to første tal. Fibonacci-serien med tal begynder som følger: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 osv. Fibonachas sekvens er nyttig til dets applikationer inden for avanceret matematik og statistik, datalogi, økonomi og natur.

typer af rimskemaer i poesi

Oprindelsen af ​​Fibonacci-sekvensen

Fibonacci-sekvensen vises først i gamle sanskrittekster så tidligt som 200 f.Kr., men sekvensen var ikke almindeligt kendt for den vestlige verden indtil 1202, da den italienske matematiker Leonardo Pisano Bogollo offentliggjorde den i sin beregningsbog kaldet Liber Abaci . Leonardo gik også af monikeren Leonardo fra Pisa, men det var først i 1838, at historikere gav ham kaldenavnet Fibonacci (groft oversat til 'søn af Bonacci'). Ud over at popularisere Fibonacci-sekvensen, Fibonatas bog Liber Abaci fortalte for brugen af ​​hindu-arabiske tal (1, 2, 3, 4 osv.) og hjalp med at erstatte det romerske talesystem (I, II, III, IV osv.) i hele Europa.

I Liber Abaci blev Fibonacci-sekvensen faktisk brugt til at besvare et hypotetisk matematisk problem, der involverede kaninpopulation: Hvis et enkelt par kaniner parrer sig i slutningen af ​​hver måned, så fød et nyt par kaniner en måned efter, at de parrer sig, og alle nye par af kaniner følger det samme mønster, hvor mange par eller kaniner vil der eksistere om et år? Sådan begynder du at besvare dette problem:

• Begynd med 1 par kaniner.
• I slutningen af ​​den første måned er der stadig kun 1 par kaniner, siden de er parret, men endnu ikke har født.
• I slutningen af ​​den anden måned er der to par kaniner siden det første par nu har født et andet par.
• I slutningen af ​​den tredje måned er der 3 par kaniner. Dette skyldes, at det første par har født et tredje par, men det andet par har kun parret sig.
• I slutningen af ​​den fjerde måned er der nu 5 par kaniner. Dette skyldes, at det første par har født et andet par, og det andet par nu har født deres første par.

Som du kan se, følger dette 1, 1, 2, 3, 5 mønster Fibonacci-sekvensen. Hvis du fortsætter i 12 måneder, vil antallet af par være 144.

Fibonacci-taleformel

Brug formlen til at beregne hvert på hinanden følgende Fibonacci-nummer i Fibonacci-serien

hvor 𝐹 er det femte Fibonacci-tal i sekvensen, og de første to tal, 𝐹0 og 𝐹1, er hhv. 0 og 1.

Det eneste problem med denne formel er, at det er en rekursiv formel, hvilket betyder, at den definerer hvert nummer i sekvensen ved hjælp af de foregående tal. Så hvis du ville beregne det tiende tal i Fibonacci-sekvensen, skal du først beregne det niende og det ottende, men for at få det niende tal skal du bruge det ottende og syvende osv.

For at finde et hvilket som helst tal i Fibonacci-sekvensen uden nogen af ​​de foregående tal, kan du bruge et udtryk i lukket form kaldet Binets formel:

I Binets formel repræsenterer det græske bogstav phi (φ) et irrationelt tal kaldet det gyldne forhold: (1 + √ 5) / 2, der afrundes til nærmeste tusindedelsplads er lig med 1.618.

Fibonacci-sekvens og det gyldne forhold

Det gyldne forhold (eller det gyldne snit) er et irrationelt tal, der opstår, når forholdet mellem to tal er det samme som forholdet mellem deres sum og det største af de to tal. Fibonacci-sekvensen er tæt forbundet med det gyldne forhold, fordi når Fibonacci-tallene stiger, bliver forholdet mellem to på hinanden følgende Fibonacci-tal tættere og tættere på det gyldne forhold.

MasterClass

Foreslået til dig

Online klasser undervist af verdens største sind. Udvid din viden i disse kategorier.

Underviser videnskabelig tænkning og kommunikation

Underviser bevarelse

Underviser rumforskning

Underviser videnskaben om bedre søvn

hvor mange sorter af pærer er der

Fibonacci-sekvens i naturen

Tænk som en professionel

Den berømte astrofysiker Neil deGrasse Tyson lærer dig, hvordan du finder objektive sandheder og deler sine værktøjer til at kommunikere det, du opdager.

Der er betydelig misinformation om, hvor du kan finde Fibonacci-sekvensen og det gyldne forhold i den virkelige verden; på trods af hvad du måske læser, blev det gyldne forhold ikke brugt til at bygge pyramiderne ved Giza, og nautilus-muslingeskallen vokser ikke nye celler baseret på Fibonacci-sekvensen.

Men disse matematiske egenskaber bag Fibonacci-sekvensen og det gyldne forhold vises i hele naturen på en række måder. For eksempel kan du finde det gyldne forhold i spiralarrangementet af blade (kaldet phyllotaxis) på nogle planter eller i det gyldne spiralmønster af pinecones, blomkål, ananas og arrangementet af frø i solsikker. Derudover er antallet af kronblade på en blomst typisk et Fibonacci-nummer.

Yderligere følger en honningbi-drones stamtræ Fibonacci-sekvensen. Dette skyldes, at en mandlig drone klækkes fra et ufrugtet æg og kun har en forælder, mens hunbier har to forældre. Dette resulterer i en drones familietræ bestående af en forælder, to bedsteforældre, tre oldeforældre, fem oldeforældre og så videre i hele Fibonacci-sekvensen.

Lær mere

Hent MasterClass årligt medlemskab for eksklusiv adgang til videolektioner, der undervises af forretnings- og videnskabsarmaturer, herunder Neil deGrasse Tyson, Chris Hadfield, Jane Goodall og mere.